コミーとマッケイブの監査：偶然の一致はどのくらいありそうですか？

ニューヨーク・タイムズ 報告 内国歳入庁がジェームズBに最も厳しいタイプの監査の1つを与えたこと。 コミー、元FBI局長、元副局長アンドリューG。

これは多くの完全に合理的な質問を提起しましたが、そのほとんどは可変です：可能性は何ですか？ 記事が指摘しているように、ドナルド・J・トランプ大統領の2人の高位の政治的敵が偶然にレビューする可能性は非常に低いです。

しかし、極小はゼロではありません。

これが偶然の一致であると信じるなら、それはどれほどありそうもないと言えるでしょうか。 ここでは、この可能性を可能な限り真剣に推定しようとしています。

まず、事実：IRSが毎年実施するすべての監査のごく一部であるNational Research Program（NRP）の下で、両方の男性が監査に選ばれました。 これらの監査では、税務コンプライアンスに関するデータを収集するために、返品のサンプルを調べます。

IRSによると、このような監査は2017年に約5,000件、2018年に4,000件、2019年に8,000件あり、毎年約1億5,400万件の確定申告から選ばれました。 コミー氏の2017年の確定申告の監査は次のとおりでした。 マッケイブは2019年に戻ってきました。

NRPの多くの側面は、IRS監査人のサンプリング方法や、監査自体のさまざまな年数など、計算を複雑にします。 後でこれらの問題に戻ります。 今のところ、すべての納税者が監査を受ける可能性は同じであり、両方の男性が2017年に監査されたと想定します。

この問題が確率に関する教科書に載っている場合は、次のように読むことができます。

巨大な壷に1億5400万個のビー玉（毎年申告されるおおよその数）があり、そのうちのいくつかが赤い（コミー氏とマッケイブ氏を表すもの）場合、あなたのチャンスは何ですか？ 瓶からランダムに数千個（その年の改訂数）を引いた場合、2つ以上の赤いボールを描きますか？

複雑に聞こえるかもしれませんが、 比較的よく考えられた問題、これは多くの数学または統計学の専攻が大学の授業で遭遇する可能性のあるものです。 人々はすでにこれらの確率を推定するための方程式を導き出しました。 超幾何分布、選挙監査やカードカウンティングなどのアプリケーションがあります。

合計ボール数、赤いボール数、ドロー数の見積もりを入力するだけで、確率がわかります。 赤いボールが2つしかない場合、つまり、運動を次のように制限した場合 ただ マッケイブ氏とコミー氏-この方程式は、9億5000万分の1の確率をもたらします。

これらは、パワーボールゲームに勝つ可能性よりもはるかに高いオッズです。 また、ほとんど意味のない結果です。 せいぜい、これは間違った質問に対する正しい答えです。

なぜ私たちの運動の本質的な不条理を認める必要があるのか​​を理解するために：ありそうもない出来事の確率を最もよく推定するために、私たちはすでにそれが起こったことを知っているという事実を脇に置く必要があります。 （これが発生する確率は100％です）。

ジョーダン・エレンバーグ、数学と思考に関する本を書いたウィスコンシン大学の教授は、次のように説明しています。「非現実的な世界では、私たちの宇宙ですでに起こっているこのことが起こる確率はどれくらいですか？」

奇妙に聞こえるかもしれませんが、コイントスのような基本的な確率の練習でも同じ問題が発生します。

コインを20回続けて投げると、表と裏の特定の順序は非常にまれで、約100万分の1ですが、実際に起こりました。 そしてその いくつか 一連の変動は常に発生します。 これが反転する前に選択したシーケンスである場合、これは驚くべき偶然です。

同様に、コミー氏とマッケイブ氏だけに検索を絞り込むのは間違いです。なぜなら、この2つを知っていれば、これらの可能性を検討する可能性が高いからです。 そうしないと 政権の著名な政治的敵は、これらの2人の男性の代わりに精査されました。

より良い質問は次のとおりです。2人以上の人がいる確率はどれくらいですか そのような コミーさんとマッケイブさん、この期間中、彼らは精査の対象になりますか？

このグループの人々には、FBIの上級職員2人を含める必要がありますか？ 法務省の2人の高官はどれですか？ 統計的分布やサンプリングの重みの選択よりも、確率的推定を駆動するのは、このフレーミング（事実ではなく主観的な決定）です。

以下は、2つ（コミー氏、マッケイブ氏、その他誰もいない）から400（アメリカ人のトランプ氏の数の控えめな見積もり）までの範囲で、私たちの方程式が赤いボールの数についてさまざまな選択肢をもたらす確率のグラフです。 Twitterで名前で侮辱された 大統領選の立候補が始まって以来）。

コミー氏とマッケイブ氏と並んで誰を赤い大理石と見なすべきかを選択すると、確率は指数関数的に増加します。

重要なのは、数を決めることではなく、グループサイズの選択が私たちを答えに駆り立てるものであることを理解することです。 一部の推測は確かに他の推測よりも優れていますが、オプションの多くは防御可能です。

詳細処理

それでは、もう少し現実的なものに絞り込んで、この問題の簡単な説明で見落としていたもののいくつかに戻ってみましょう。

まず、2人の男性は同じ年に監査されませんでした。 2017年から2019年までの3年間をカバーするように範囲を拡大することにより、結果として生じるオッズは指数関数的に増加します。 これは簡単です。ある人が特定の年に改訂する特定の機会を持っている場合、年が長いほど改訂する機会が増えることを意味します。

第二に、私たちは少なくとも2人を選ぶ可能性にのみ関心があります。 同じ人物が2回選ばれる可能性は考慮されません。 コミー氏の説明によると、監査が1年以上続く可能性は低いようです。 グループから3人以上が選ばれたかどうかも重要であるため、特に2人ではなく、少なくとも2人を選択する確率を調べていることに注意してください。

最後に、IRSは実際にはランダムに人を選ぶわけではありません。 代わりに、代理店は以下を含むいくつかのタイプの納税者を選ぶ傾向があります 高収入の人、他よりも。 2001年の課税年度には、NRP。フォームが含まれています 収量 収入とは無関係に収益が選択されたため、収入の約90パーセンタイルの人々の割合は予想の約1.7倍です。 この率は最高の収入ランクを超えて上昇し、上位0.5％の収入を持つ人々は、中央値の収入に最も近い人々よりも10倍多くサンプルに含まれる可能性があります。

おそらく、トランプ氏の敵のどのグループも、アメリカ人のランダムなサンプル以上のものを得るだろうと推測することができます。 しかし、私たちのグループの全員の毎年の全収入を現実的に見積もることはできません。 また、IRSがサンプリングで他の要因を考慮していることも知っています。 支払いタイプ この納税者ファイル、およびそのサンプリング方法は年ごとに変わる可能性があります。 これは、IRSの方法をどのように一致させるかについてのガイダンスをほとんど残していません。 そのため、私たちは収入によって加重されていない見積もりを残します。 封筒の裏側の演習として、収入がこれらの結果にどのように影響するかが心配な場合は、グループメンバーの収入が非常に高いと思われる場合は結果の確率を掛け、異常だと思う場合は10を掛けることができます。裕福。

それらをすべてまとめる

これらのオプションを組み込んだ以下の表は、検討中のグループのサイズに応じて、いくつかの推定される可能性を示しています。。

または、オプションが不十分な場合は、独自のオッズを作成するための簡単な計算機を作成しました。

では、「正しい」見積もりとは何ですか？

この方程式の最も現実的な出力は、「非常にまれ」または「非常にまれ」と正確に説明できますが、エラーの証拠はありません。

「それは、抵抗できない力と動かせないもののようなものです」と彼は言いました。 アンドリュー・ギルマン、この演習について要約で語られたとき、コロンビア大学の統計学と政治学の教授。 「一方で、それは完全にランダムであるとあなたは言います。他方で、あなたはそうではないと疑っています。」

ギルマン氏は、この問題についてタイムズと話をした他の統計家と同様に、最大のハードルは詳細ではなく、質問自体を定義することであると述べました。

特定のイベントの確率を計算しようとすると なぜなら それはランダムではないかもしれないと私たちは疑っています、私たちはイベントの確率をどのように予測したかを想像しようとする複雑な状況に陥ります 前 彼は何が起こったのか言った デビッド・スピーゲルハルター。 彼は、ケンブリッジ大学のリスクと証拠に関するコミュニケーションのためのウィントンセンターを率いています。ケンブリッジ大学は、定量的証拠が社会で使用される方法を改善することに専念している組織です。

数学は簡単ですが、質問の言い回しは難しく、「ナンセンス」に近いです。これは主に、どのグループに関心があるかを定義するのが難しいためです。

「それが起こる可能性は何ですか？」 簡単な発言です。」「おなじみの発言です。 しかし、実際には、この質問に答えることは非常に困難です。」

数学には限界があります。 ギルマン氏によると、このような確率を推定しようとすることのポイントは、数字に多くの株を入れることではなく、結果があなたにもっと学ぶように促すことです。

この場合、最良の質問は、統計の教科書で探すことができる答えではありません。

代わりに、ギルマン氏は、尋ねるべき質問は「何が起こっているのか」と言った。

マシューコリン レポートの作成に貢献します。